Ratkaise 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1,542572892$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -15 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

Lisää 225 lukuun -192.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

Jaa 15+\sqrt{33} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

Jaa 15-\sqrt{33} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

Jaa -15 luvulla 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Lisää -\frac{16}{3} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$