Ratkaise 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 12 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 144 lukuun 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 192 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Jaa -12+8\sqrt{3} luvulla -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{3} luvusta -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Jaa -12-8\sqrt{3} luvulla -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Jaa 12 luvulla -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Jaa -3 luvulla -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$