Ratkaise 28x^2-8x-48=0

$$28 x ^ { 2 } - 8 x - 48 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{85} + 1}{7} \approx 1,459934922$$

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}\approx -1,174220637$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 28, b luvulla -8 ja c luvulla -48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Kerro -4 ja 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-112\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Kerro -112 ja -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+5376}}{2\times 28}$$

Lisää 64 lukuun 5376.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{5440}}{2\times 28}$$

Ota luvun 5440 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

Kerro 2 ja 28.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 8\sqrt{85}.

$$x=\frac{8\sqrt{85}+8}{56}$$

Jaa 8+8\sqrt{85} luvulla 56.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{85} luvusta 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{85}}{56}$$

Jaa 8-8\sqrt{85} luvulla 56.

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

Lisää 48 yhtälön kummallekin puolelle.

$$28x^{2}-8x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Kun luku -48 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$28x^{2}-8x=-\left(-48\right)$$

Vähennä -48 luvusta 0.

$$28x^{2}-8x=48$$

Jaa molemmat puolet luvulla 28.

$$\frac{28x^{2}-8x}{28}=\frac{48}{28}$$

Jakaminen luvulla 28 kumoaa kertomisen luvulla 28.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{28}\right)x=\frac{48}{28}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{28} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{48}{28}$$

Supista murtoluku \frac{48}{28} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{12}{7}$$

Jaa -\frac{2}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{7}. Lisää sitten -\frac{1}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{12}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{12}{7}+\frac{1}{49}$$

Lisää \frac{12}{7} lukuun \frac{1}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{85}{49}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{85}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{49}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{85}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{85}}{7}$$

Lisää \frac{1}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$