Ratkaise 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 25y^{2}+ay+by-63. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -54.

$$a=-75 b=21$$

Kirjoita \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) uudelleen muodossa 25y^{2}-54y-63.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Jaa 25y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 21.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Jaa yleinen termi y-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista y-3=0 ja 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -54 ja c luvulla -63 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Korota -54 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Lisää 2916 lukuun 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Ota luvun 9216 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Luvun -54 vastaluku on 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{54±96}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 54 lukuun 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Jaa 150 luvulla 50.

$$y=3$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{54±96}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 96 luvusta 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Supista murtoluku \frac{-42}{50} luvulla 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Lisää 63 yhtälön kummallekin puolelle.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Kun luku -63 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Vähennä -63 luvusta 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Jaa -\frac{54}{25} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{27}{25}. Lisää sitten -\frac{27}{25}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Korota -\frac{27}{25} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Lisää \frac{63}{25} lukuun \frac{729}{625} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Jaa y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Lisää \frac{27}{25} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$