Ratkaise 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Selvitä 24x^{2} yhdistämällä 25x^{2} ja -x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 24x^{2}+ax+bx-25. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -10.

$$a=-30 b=20$$

Kirjoita \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right) uudelleen muodossa 24x^{2}-10x-25.

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Jaa 6x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 4x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 4x-5=0 ja 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 24x^{2} yhdistämällä 25x^{2} ja -x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 24, b luvulla -10 ja c luvulla -25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Kerro -4 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Kerro -96 ja -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Lisää 100 lukuun 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Ota luvun 2500 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Kerro 2 ja 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±50}{48}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Supista murtoluku \frac{60}{48} luvulla 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±50}{48}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 50 luvusta 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Supista murtoluku \frac{-40}{48} luvulla 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 24x^{2} yhdistämällä 25x^{2} ja -x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Lisää 25 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$24x^{2}-10x=25$$

Jaa molemmat puolet luvulla 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Jakaminen luvulla 24 kumoaa kertomisen luvulla 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{24} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Jaa -\frac{5}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{24}. Lisää sitten -\frac{5}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Lisää \frac{25}{24} lukuun \frac{25}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Lisää \frac{5}{24} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$