Ratkaise 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 24x^{2}+ax+bx+21. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -65.

$$a=-56 b=-9$$

Kirjoita \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) uudelleen muodossa 24x^{2}-65x+21.

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Jaa 8x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -3.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-7 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-7=0 ja 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 24, b luvulla -65 ja c luvulla 21 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Korota -65 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kerro -4 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Kerro -96 ja 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Lisää 4225 lukuun -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Ota luvun 2209 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Luvun -65 vastaluku on 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Kerro 2 ja 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{65±47}{48}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 65 lukuun 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Supista murtoluku \frac{112}{48} luvulla 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{65±47}{48}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 47 luvusta 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Supista murtoluku \frac{18}{48} luvulla 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Vähennä 21 yhtälön molemmilta puolilta.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Kun luku 21 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Jaa molemmat puolet luvulla 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Jakaminen luvulla 24 kumoaa kertomisen luvulla 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-21}{24} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Jaa -\frac{65}{24} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{65}{48}. Lisää sitten -\frac{65}{48}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Korota -\frac{65}{48} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Lisää -\frac{7}{8} lukuun \frac{4225}{2304} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Jaa x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Lisää \frac{65}{48} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$