Ratkaise 24x^2+46x+24=0

$$24 { x }^{ 2 } +46x+24=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24}\approx -0,958333333+0,285652275i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}\approx -0,958333333-0,285652275i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$24x^{2}+46x+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 24, b luvulla 46 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Korota 46 neliöön.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kerro -4 ja 24.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-96\times 24}}{2\times 24}$$

Kerro -96 ja 24.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2304}}{2\times 24}$$

Lisää 2116 lukuun -2304.

$$x=\frac{-46±\sqrt{-188}}{2\times 24}$$

Ota luvun -188 neliöjuuri.

$$x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{2\times 24}$$

Kerro 2 ja 24.

$$x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -46 lukuun 2i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-46+2\sqrt{47}i}{48}$$

Jaa -46+2i\sqrt{47} luvulla 48.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-46±2\sqrt{47}i}{48}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{47} luvusta -46.

$$x=\frac{-2\sqrt{47}i-46}{48}$$

Jaa -46-2i\sqrt{47} luvulla 48.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24} x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+46x+24=0$$

Vähennä 24 yhtälön molemmilta puolilta.

$$24x^{2}+46x+24-24=-24$$

Kun luku 24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$24x^{2}+46x=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 24.

$$\frac{24x^{2}+46x}{24}=-\frac{24}{24}$$

Jakaminen luvulla 24 kumoaa kertomisen luvulla 24.

$$x^{2}+\frac{46}{24}x=-\frac{24}{24}$$

Supista murtoluku \frac{46}{24} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x=-\frac{24}{24}$$

Jaa -24 luvulla 24.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x=-1$$

Jaa \frac{23}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{23}{24}. Lisää sitten \frac{23}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\left(\frac{23}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{23}{24}\right)^{2}$$

Korota \frac{23}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}=-1+\frac{529}{576}$$

Lisää -1 lukuun \frac{529}{576}.

$$x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576}=-\frac{47}{576}$$

Jaa x^{2}+\frac{23}{12}x+\frac{529}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{24}\right)^{2}=-\frac{47}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{24}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{576}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{23}{24}=\frac{\sqrt{47}i}{24} x+\frac{23}{24}=-\frac{\sqrt{47}i}{24}$$

Vähennä \frac{23}{24} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-23+\sqrt{47}i}{24} x=\frac{-\sqrt{47}i-23}{24}$$