Ratkaise 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 23, b luvulla 11 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Kerro -4 ja 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Kerro -92 ja 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Lisää 121 lukuun -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Ota luvun -707 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Kerro 2 ja 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{707} luvusta -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Jakaminen luvulla 23 kumoaa kertomisen luvulla 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Jaa \frac{11}{23} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{46}. Lisää sitten \frac{11}{46}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{46} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Lisää -\frac{9}{23} lukuun \frac{121}{2116} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Vähennä \frac{11}{46} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$