Ratkaise 21=3+35x-16x^2

$$21 = 3 + 35 x - 16 x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{73} + 35}{32} \approx 1,360750117$$

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}\approx 0,826749883$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$3+35x-16x^{2}=21$$

Vähennä 21 molemmilta puolilta.

$$3+35x-16x^{2}-21=0$$

Vähennä 21 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -18.

$$-18+35x-16x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-16x^{2}+35x-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -16, b luvulla 35 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\left(-16\right)\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 35 neliöön.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\left(-16\right)\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+64\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja -18.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-1152}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 1225 lukuun -1152.

$$x=\frac{-35±\sqrt{73}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -35 lukuun \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}-35}{-32}$$

Jaa -35+\sqrt{73} luvulla -32.

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{73} luvusta -35.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-35}{-32}$$

Jaa -35-\sqrt{73} luvulla -32.

$$x=\frac{\sqrt{73}+35}{32}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32} x=\frac{\sqrt{73}+35}{32}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$3+35x-16x^{2}=21$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$35x-16x^{2}=21-3$$

Vähennä 3 luvusta 21 saadaksesi tuloksen 18.

$$35x-16x^{2}=18$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-16x^{2}+35x=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla -16.

$$\frac{-16x^{2}+35x}{-16}=\frac{18}{-16}$$

Jakaminen luvulla -16 kumoaa kertomisen luvulla -16.

$$x^{2}+\frac{35}{-16}x=\frac{18}{-16}$$

Jaa 35 luvulla -16.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x=\frac{18}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{18}{-16} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x=-\frac{9}{8}$$

Jaa -\frac{35}{16} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{35}{32}. Lisää sitten -\frac{35}{32}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\left(-\frac{35}{32}\right)^{2}=-\frac{9}{8}+\left(-\frac{35}{32}\right)^{2}$$

Korota -\frac{35}{32} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}=-\frac{9}{8}+\frac{1225}{1024}$$

Lisää -\frac{9}{8} lukuun \frac{1225}{1024} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}=\frac{73}{1024}$$

Jaa x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{32}\right)^{2}=\frac{73}{1024}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{1024}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{35}{32}=\frac{\sqrt{73}}{32} x-\frac{35}{32}=-\frac{\sqrt{73}}{32}$$

Lisää \frac{35}{32} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{73}+35}{32} x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}$$