Ratkaise 2x^2-3x+8=50

$$2 x ^ { 2 } - 3 x + 8 = 50$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{345} + 3}{4} \approx 5,393543905$$

$$x=\frac{3-\sqrt{345}}{4}\approx -3,893543905$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-3x+8=50$$

Vähennä 50 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-3x+8-50=50-50$$

Kun luku 50 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-3x+8-50=0$$

Vähennä 50 luvusta 8.

$$2x^{2}-3x-42=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla -42 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -42.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+336}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 336.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{345}}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{345}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{345}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{345}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{345}.

$$x=\frac{\sqrt{345}+3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{345}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{345} luvusta 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{345}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{345}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{345}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x+8=50$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-3x+8-8=50-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-3x=50-8$$

Vähennä 8 luvusta 50.

$$2x^{2}-3x=42$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{42}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{42}{2}$$

Jaa 42 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=21$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=21+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=21+\frac{9}{16}$$

Lisää 21 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{345}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{345}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{345}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{345}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{345}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{345}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{345}}{4}$$