Ratkaise 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -15 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Lisää 225 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{233} luvusta 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{15}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{4}. Lisää sitten -\frac{15}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{225}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Lisää \frac{15}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$