Ratkaise 2x^2-15x=-7

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=7$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 7 molemmille puolille.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx+7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -15.

$$a=-14 b=-1$$

Kirjoita \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-15x+7.

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Jaa yleinen termi x-7 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-7=0 ja 2x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -15 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

Lisää 225 lukuun -56.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±13}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 13.

$$x=\frac{28}{4}$$

Jaa 28 luvulla 4.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±13}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Jaa -\frac{15}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{4}. Lisää sitten -\frac{15}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun \frac{225}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Lisää \frac{15}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$