Ratkaise 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -11 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Lisää 121 lukuun -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Ota luvun -7 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{7} luvusta 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Jaa -16 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Jaa -\frac{11}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{4}. Lisää sitten -\frac{11}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Lisää -8 lukuun \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$