Ratkaise 2x^2+9x+7=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx+7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 14.

$$1,14 2,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+14=15 2+7=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 9.

$$a=2 b=7$$

Kirjoita \left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+9x+7.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$2x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Jaa yleinen termi x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x+1\right)\left(2x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x+1=0 ja 2x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 9 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Lisää 81 lukuun -56.

$$x=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-9±5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±5}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 5.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±5}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -9.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+9x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+9x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Jaa \frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{4}. Lisää sitten \frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$