Ratkaise 2x^2+8x+14=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-2+\sqrt{3}i\approx -2+1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i-2\approx -2-1,732050808i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+8x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 8 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 14}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 14.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-112}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun -112.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-48}}{2\times 2}$$

Ota luvun -48 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 4i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8+4\sqrt{3}i}{4}$$

Jaa -8+4i\sqrt{3} luvulla 4.

$$x=-2+\sqrt{3}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{3} luvusta -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}i-8}{4}$$

Jaa -8-4i\sqrt{3} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{3}i-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+8x+14=0$$

Vähennä 14 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+8x+14-14=-14$$

Kun luku 14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+8x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{14}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{14}{2}$$

Jaa 8 luvulla 2.

$$x^{2}+4x=-\frac{14}{2}$$

Jaa -14 luvulla 2.

$$x^{2}+4x=-7$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-7+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=-7+4$$

Lisää -7 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=-3$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{3}i x+2=-\sqrt{3}i$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i-2$$