Ratkaise 2x^2+4x=10

$$2 x ^ { 2 } + 4 x = 10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{6}-1\approx 1,449489743$$

$$x=-\left(\sqrt{6}+1\right)\approx -3,449489743$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+4x=10$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+4x-10=10-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+4x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 4 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 2}$$

Ota luvun 96 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{4}$$

Jaa -4+4\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=\sqrt{6}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{6} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{4}$$

Jaa -4-4\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{6}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{6}-1 x=-\sqrt{6}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{10}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{10}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=\frac{10}{2}$$

Jaa 10 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=5$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=5+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=5+1$$

Lisää 5 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=6$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=6$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{6} x+1=-\sqrt{6}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{6}-1 x=-\sqrt{6}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{6}-1\approx 1,449489743$$

$$x=-\sqrt{6}-1\approx -3,449489743$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+4x=10$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+4x-10=10-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+4x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 4 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 2}$$

Ota luvun 96 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{4}$$

Jaa -4+4\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=\sqrt{6}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{6} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{4}$$

Jaa -4-4\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{6}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{6}-1 x=-\sqrt{6}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{10}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{10}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=\frac{10}{2}$$

Jaa 10 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=5$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=5+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=5+1$$

Lisää 5 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=6$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=6$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{6} x+1=-\sqrt{6}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{6}-1 x=-\sqrt{6}-1$$