Ratkaise 2x^2+15x+7leq0

$$2 x ^ { 2 } + 15 x + 7 \leq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \begin{bmatrix}-7,-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+15x+7=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan 15 tilalle b ja muuttujan 7 tilalle c.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-15±13}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-15±13}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-\frac{1}{2} x=-7$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+7\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista x+\frac{1}{2} ja x+7 on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{2}\geq 0 ja x+7\leq 0.

$$x+\frac{1}{2}\geq 0 x+7\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{2}\leq 0 ja x+7\geq 0.

$$x+7\geq 0 x+\frac{1}{2}\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left[-7,-\frac{1}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-7,-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \begin{bmatrix}-7,-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$