Ratkaise 2x^2-4x+7=0

$$2 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1+1,58113883i$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1-1,58113883i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-4x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -4 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-56}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun -56.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-40}}{2\times 2}$$

Ota luvun -40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{10}i}{2\times 2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i\sqrt{10}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{10}i}{4}$$

Jaa 4+2i\sqrt{10} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{10}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{10} luvusta 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}i+4}{4}$$

Jaa 4-2i\sqrt{10} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-4x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-4x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-4x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x^{2}-2x=-\frac{7}{2}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{7}{2}+1$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{5}{2}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{10}i}{2} x-1=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$