Ratkaise 2x^2+9x+9=0

$$2 { x }^{ 2 } +9x+9=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx+9. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=9 ab=2\times 9=18$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 9.

$$a=3 b=6$$

Kirjoita \left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+9x+9.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Jaa yleinen termi 2x+3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x+3\right)\left(x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x+3=0 ja x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 9 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Lisää 81 lukuun -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-9±3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±3}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 3.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±3}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Jaa -12 luvulla 4.

$$x=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+9x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+9x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Jaa \frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{4}. Lisää sitten \frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää -\frac{9}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$