Ratkaise 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-168. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=-16 b=21$$

Kirjoita \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+5x-168.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 21.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Jaa yleinen termi x-8 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-8=0 ja 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 5 ja c luvulla -168 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Lisää 25 lukuun 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Ota luvun 1369 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±37}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Jaa 32 luvulla 4.

$$x=8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±37}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 37 luvusta -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-42}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Lisää 168 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Kun luku -168 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Vähennä -168 luvusta 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Jaa 168 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Jaa \frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{4}. Lisää sitten \frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Lisää 84 lukuun \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Vähennä \frac{5}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$