Ratkaise 2+3x-4x^2=0

$$2 + 3 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+3x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 3 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+32}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 9 lukuun 32.

$$x=\frac{-3±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{-8}$$

Jaa -3+\sqrt{41} luvulla -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{-8}$$

Jaa -3-\sqrt{41} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8} x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+3x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-4x^{2}+3x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-4x^{2}+3x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+3x}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{3}{-4}x=-\frac{2}{-4}$$

Jaa 3 luvulla -4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{2}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{-4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{8}. Lisää sitten -\frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Lisää \frac{3}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$