Ratkaise 18-45x=64-32x+4x^2

$$18-45x=64-32x+4 { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8}\approx -1,625-2,976470225i$$

$$x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8}\approx -1,625+2,976470225i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 64 molemmilta puolilta.

$$18-45x-64=-32x+4x^{2}$$

Vähennä 64 luvusta 18 saadaksesi tuloksen -46.

$$-46-45x=-32x+4x^{2}$$

Lisää 32x molemmille puolille.

$$-46-45x+32x=4x^{2}$$

Selvitä -13x yhdistämällä -45x ja 32x.

$$-46-13x=4x^{2}$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$-46-13x-4x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}-13x-46=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla -13 ja c luvulla -46 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-46\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota -13 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-4\right)\left(-46\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+16\left(-46\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -46.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-736}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 169 lukuun -736.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-567}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun -567 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±9\sqrt{7}i}{2\left(-4\right)}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun 9i\sqrt{7}.

$$x=\frac{13+9\sqrt{7}i}{-8}$$

Jaa 13+9i\sqrt{7} luvulla -8.

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9i\sqrt{7} luvusta 13.

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i+13}{-8}$$

Jaa 13-9i\sqrt{7} luvulla -8.

$$x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8} x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 32x molemmille puolille.

$$18-45x+32x=64+4x^{2}$$

Selvitä -13x yhdistämällä -45x ja 32x.

$$18-13x=64+4x^{2}$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$18-13x-4x^{2}=64$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$-13x-4x^{2}=64-18$$

Vähennä 18 luvusta 64 saadaksesi tuloksen 46.

$$-13x-4x^{2}=46$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-13x=46$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}-13x}{-4}=\frac{46}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{13}{-4}\right)x=\frac{46}{-4}$$

Jaa -13 luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=\frac{46}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{46}{-4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{23}{2}$$

Jaa \frac{13}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{13}{8}. Lisää sitten \frac{13}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{23}{2}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{13}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{23}{2}+\frac{169}{64}$$

Lisää -\frac{23}{2} lukuun \frac{169}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{567}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{567}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{567}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{9\sqrt{7}i}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{9\sqrt{7}i}{8}$$

Vähennä \frac{13}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8}$$