Ratkaise 18x^2+33x=180

$$18 { x }^{ 2 } +33x=180$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$18x^{2}+33x=180$$

Vähennä 180 yhtälön molemmilta puolilta.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Kun luku 180 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 18, b luvulla 33 ja c luvulla -180 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Korota 33 neliöön.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Kerro -4 ja 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Kerro -72 ja -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Lisää 1089 lukuun 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Ota luvun 14049 neliöjuuri.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Kerro 2 ja 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -33 lukuun 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Jaa -33+3\sqrt{1561} luvulla 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{1561} luvusta -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Jaa -33-3\sqrt{1561} luvulla 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}+33x=180$$

Jaa molemmat puolet luvulla 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

Jakaminen luvulla 18 kumoaa kertomisen luvulla 18.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Supista murtoluku \frac{33}{18} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Jaa 180 luvulla 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Jaa \frac{11}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{12}. Lisää sitten \frac{11}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Lisää 10 lukuun \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Vähennä \frac{11}{12} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$