Ratkaise 1530quadx^2-30x-470=0

$$1530 \quad x ^ { 2 } - 30 x - 470 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}\approx 0,564137449$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}\approx -0,544529606$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1530, b luvulla -30 ja c luvulla -470 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Korota -30 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Kerro -4 ja 1530.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-6120\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Kerro -6120 ja -470.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+2876400}}{2\times 1530}$$

Lisää 900 lukuun 2876400.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{2877300}}{2\times 1530}$$

Ota luvun 2877300 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

Kerro 2 ja 1530.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 30 lukuun 30\sqrt{3197}.

$$x=\frac{30\sqrt{3197}+30}{3060}$$

Jaa 30+30\sqrt{3197} luvulla 3060.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 30\sqrt{3197} luvusta 30.

$$x=\frac{30-30\sqrt{3197}}{3060}$$

Jaa 30-30\sqrt{3197} luvulla 3060.

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Lisää 470 yhtälön kummallekin puolelle.

$$1530x^{2}-30x-470-\left(-470\right)=-\left(-470\right)$$

Kun luku -470 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$1530x^{2}-30x=-\left(-470\right)$$

Vähennä -470 luvusta 0.

$$1530x^{2}-30x=470$$

Jaa molemmat puolet luvulla 1530.

$$\frac{1530x^{2}-30x}{1530}=\frac{470}{1530}$$

Jakaminen luvulla 1530 kumoaa kertomisen luvulla 1530.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{1530}\right)x=\frac{470}{1530}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{1530} luvulla 30.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{470}{1530}$$

Supista murtoluku \frac{470}{1530} luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{47}{153}$$

Jaa -\frac{1}{51} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{102}. Lisää sitten -\frac{1}{102}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{47}{153}+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{102} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{47}{153}+\frac{1}{10404}$$

Lisää \frac{47}{153} lukuun \frac{1}{10404} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{3197}{10404}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{3197}{10404}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3197}{10404}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{102}=\frac{\sqrt{3197}}{102} x-\frac{1}{102}=-\frac{\sqrt{3197}}{102}$$

Lisää \frac{1}{102} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$