Ratkaise 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6,4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0,010325766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla -97 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Korota -97 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Lisää 9409 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Luvun -97 vastaluku on 97.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 97 lukuun \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{9349} luvusta 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Jaa -\frac{97}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{97}{30}. Lisää sitten -\frac{97}{30}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

Korota -\frac{97}{30} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

Lisää -\frac{1}{15} lukuun \frac{9409}{900} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Jaa x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Lisää \frac{97}{30} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$