Ratkaise 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 15x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 11.

$$a=5 b=6$$

Kirjoita \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) uudelleen muodossa 15x^{2}+11x+2.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+1=0 ja 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla 11 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Lisää 121 lukuun -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±1}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{30} luvulla 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±1}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{30} luvulla 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Jaa \frac{11}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{30}. Lisää sitten \frac{11}{30}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{30} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Lisää -\frac{2}{15} lukuun \frac{121}{900} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Vähennä \frac{11}{30} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$