Ratkaise 126=(x-10)(35-x)

$$126=(x-10)(35-x)$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=17$$

$$x=28$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x-10 ja 35-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$126=45x-x^{2}-350$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$45x-x^{2}-350=126$$

Vähennä 126 molemmilta puolilta.

$$45x-x^{2}-350-126=0$$

Vähennä 126 luvusta -350 saadaksesi tuloksen -476.

$$45x-x^{2}-476=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+45x-476=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 45 ja c luvulla -476 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-476\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 45 neliöön.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-476\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-476\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -476.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1904}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 2025 lukuun -1904.

$$x=\frac{-45±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-45±11}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-45±11}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±11}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -45 lukuun 11.

$$x=-\frac{34}{-2}$$

Jaa -34 luvulla -2.

$$x=17$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±11}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta -45.

$$x=-\frac{56}{-2}$$

Jaa -56 luvulla -2.

$$x=28$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=17 x=28$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x-10 ja 35-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$126=45x-x^{2}-350$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$45x-x^{2}-350=126$$

Lisää 350 molemmille puolille.

$$45x-x^{2}=126+350$$

Selvitä 476 laskemalla yhteen 126 ja 350.

$$45x-x^{2}=476$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x=476$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{476}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{476}{-1}$$

Jaa 45 luvulla -1.

$$x^{2}-45x=\frac{476}{-1}$$

Jaa 476 luvulla -1.

$$x^{2}-45x=-476$$

Jaa -45 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{45}{2}. Lisää sitten -\frac{45}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-476+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{45}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-476+\frac{2025}{4}$$

Lisää -476 lukuun \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}-45x+\frac{2025}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{11}{2}$$

Lisää \frac{45}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=28 x=17$$