Ratkaise 125x^2-78*5x+36125=0

$$125 x ^ { 2 } - 78 \cdot 5 x + 36125 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}\approx 1,56+16,92827221i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}\approx 1,56-16,92827221i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 125, b luvulla -390 ja c luvulla 36125 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{\left(-390\right)^{2}-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

Korota -390 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

Kerro -4 ja 125.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-500\times 36125}}{2\times 125}$$

Kerro -500 ja 36125.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-18062500}}{2\times 125}$$

Lisää 152100 lukuun -18062500.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{-17910400}}{2\times 125}$$

Ota luvun -17910400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

Luvun -390 vastaluku on 390.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

Kerro 2 ja 125.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 390 lukuun 40i\sqrt{11194}.

$$x=\frac{390+40\sqrt{11194}i}{250}$$

Jaa 390+40i\sqrt{11194} luvulla 250.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40i\sqrt{11194} luvusta 390.

$$x=\frac{-40\sqrt{11194}i+390}{250}$$

Jaa 390-40i\sqrt{11194} luvulla 250.

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

Vähennä 36125 yhtälön molemmilta puolilta.

$$125x^{2}-390x+36125-36125=-36125$$

Kun luku 36125 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$125x^{2}-390x=-36125$$

Jaa molemmat puolet luvulla 125.

$$\frac{125x^{2}-390x}{125}=-\frac{36125}{125}$$

Jakaminen luvulla 125 kumoaa kertomisen luvulla 125.

$$x^{2}+\left(-\frac{390}{125}\right)x=-\frac{36125}{125}$$

Supista murtoluku \frac{-390}{125} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-\frac{36125}{125}$$

Jaa -36125 luvulla 125.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-289$$

Jaa -\frac{78}{25} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{39}{25}. Lisää sitten -\frac{39}{25}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}=-289+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}$$

Korota -\frac{39}{25} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-289+\frac{1521}{625}$$

Lisää -289 lukuun \frac{1521}{625}.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-\frac{179104}{625}$$

Jaa x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}=-\frac{179104}{625}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179104}{625}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{39}{25}=\frac{4\sqrt{11194}i}{25} x-\frac{39}{25}=-\frac{4\sqrt{11194}i}{25}$$

Lisää \frac{39}{25} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$