Ratkaise 11x^2-98x-120=0

$$11 x ^ { 2 } - 98 x - 120 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1,090909091$$

$$x=10$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 11x^{2}+ax+bx-120. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-98 ab=11\left(-120\right)=-1320$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -1320.

$$1,-1320 2,-660 3,-440 4,-330 5,-264 6,-220 8,-165 10,-132 11,-120 12,-110 15,-88 20,-66 22,-60 24,-55 30,-44 33,-40$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-1320=-1319 2-660=-658 3-440=-437 4-330=-326 5-264=-259 6-220=-214 8-165=-157 10-132=-122 11-120=-109 12-110=-98 15-88=-73 20-66=-46 22-60=-38 24-55=-31 30-44=-14 33-40=-7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -98.

$$a=-110 b=12$$

Kirjoita \left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right) uudelleen muodossa 11x^{2}-98x-120.

$$\left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right)$$

Jaa 11x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 12.

$$11x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Jaa yleinen termi x-10 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-10\right)\left(11x+12\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-10=0 ja 11x+12=0.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 11, b luvulla -98 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Korota -98 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Kerro -4 ja 11.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-44\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Kerro -44 ja -120.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604+5280}}{2\times 11}$$

Lisää 9604 lukuun 5280.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{14884}}{2\times 11}$$

Ota luvun 14884 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±122}{2\times 11}$$

Luvun -98 vastaluku on 98.

$$x=\frac{98±122}{2\times 11}$$

Kerro 2 ja 11.

$$x=\frac{98±122}{22}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{98±122}{22}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 98 lukuun 122.

$$x=\frac{220}{22}$$

Jaa 220 luvulla 22.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{98±122}{22}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 122 luvusta 98.

$$x=-\frac{24}{22}$$

Supista murtoluku \frac{-24}{22} luvulla 2.

$$x=-\frac{12}{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Lisää 120 yhtälön kummallekin puolelle.

$$11x^{2}-98x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Kun luku -120 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$11x^{2}-98x=-\left(-120\right)$$

Vähennä -120 luvusta 0.

$$11x^{2}-98x=120$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$\frac{11x^{2}-98x}{11}=\frac{120}{11}$$

Jakaminen luvulla 11 kumoaa kertomisen luvulla 11.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x=\frac{120}{11}$$

Jaa -\frac{98}{11} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{49}{11}. Lisää sitten -\frac{49}{11}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{120}{11}+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}$$

Korota -\frac{49}{11} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{120}{11}+\frac{2401}{121}$$

Lisää \frac{120}{11} lukuun \frac{2401}{121} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{3721}{121}$$

Jaa x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{3721}{121}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3721}{121}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{49}{11}=\frac{61}{11} x-\frac{49}{11}=-\frac{61}{11}$$

Lisää \frac{49}{11} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$