Ratkaise 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 11 tilalle a, muuttujan -9 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} ja x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} ja x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} ja x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} ovat molemmat positiivisia.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$