Ratkaise 101x^2+7x+6=0

$$101 x ^ { 2 } + 7 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-7+5\sqrt{95}i}{202}\approx -0,034653465+0,241257286i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{95}i-7}{202}\approx -0,034653465-0,241257286i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$101x^{2}+7x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 101, b luvulla 7 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 101\times 6}}{2\times 101}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 101\times 6}}{2\times 101}$$

Kerro -4 ja 101.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-404\times 6}}{2\times 101}$$

Kerro -404 ja 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-2424}}{2\times 101}$$

Lisää 49 lukuun -2424.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-2375}}{2\times 101}$$

Ota luvun -2375 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±5\sqrt{95}i}{2\times 101}$$

Kerro 2 ja 101.

$$x=\frac{-7±5\sqrt{95}i}{202}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±5\sqrt{95}i}{202}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 5i\sqrt{95}.

$$x=\frac{-7+5\sqrt{95}i}{202}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±5\sqrt{95}i}{202}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5i\sqrt{95} luvusta -7.

$$x=\frac{-5\sqrt{95}i-7}{202}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-7+5\sqrt{95}i}{202} x=\frac{-5\sqrt{95}i-7}{202}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$101x^{2}+7x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$101x^{2}+7x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$101x^{2}+7x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 101.

$$\frac{101x^{2}+7x}{101}=-\frac{6}{101}$$

Jakaminen luvulla 101 kumoaa kertomisen luvulla 101.

$$x^{2}+\frac{7}{101}x=-\frac{6}{101}$$

Jaa \frac{7}{101} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{202}. Lisää sitten \frac{7}{202}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{101}x+\left(\frac{7}{202}\right)^{2}=-\frac{6}{101}+\left(\frac{7}{202}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{202} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{101}x+\frac{49}{40804}=-\frac{6}{101}+\frac{49}{40804}$$

Lisää -\frac{6}{101} lukuun \frac{49}{40804} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{101}x+\frac{49}{40804}=-\frac{2375}{40804}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{101}x+\frac{49}{40804} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{202}\right)^{2}=-\frac{2375}{40804}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{202}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2375}{40804}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{202}=\frac{5\sqrt{95}i}{202} x+\frac{7}{202}=-\frac{5\sqrt{95}i}{202}$$

Vähennä \frac{7}{202} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-7+5\sqrt{95}i}{202} x=\frac{-5\sqrt{95}i-7}{202}$$