Ratkaise 1000x^2+2x+69=0

$$1000 { x }^{ 2 } +2x+69=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}\approx -0,001+0,262676607i$$

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}\approx -0,001-0,262676607i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1000, b luvulla 2 ja c luvulla 69 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Kerro -4 ja 1000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4000\times 69}}{2\times 1000}$$

Kerro -4000 ja 69.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-276000}}{2\times 1000}$$

Lisää 4 lukuun -276000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-275996}}{2\times 1000}$$

Ota luvun -275996 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2\times 1000}$$

Kerro 2 ja 1000.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{68999}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Jaa -2+2i\sqrt{68999} luvulla 2000.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{68999} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{68999}i-2}{2000}$$

Jaa -2-2i\sqrt{68999} luvulla 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Vähennä 69 yhtälön molemmilta puolilta.

$$1000x^{2}+2x+69-69=-69$$

Kun luku 69 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$1000x^{2}+2x=-69$$

Jaa molemmat puolet luvulla 1000.

$$\frac{1000x^{2}+2x}{1000}=-\frac{69}{1000}$$

Jakaminen luvulla 1000 kumoaa kertomisen luvulla 1000.

$$x^{2}+\frac{2}{1000}x=-\frac{69}{1000}$$

Supista murtoluku \frac{2}{1000} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x=-\frac{69}{1000}$$

Jaa \frac{1}{500} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{1000}. Lisää sitten \frac{1}{1000}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{69}{1000}+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{1000} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{69}{1000}+\frac{1}{1000000}$$

Lisää -\frac{69}{1000} lukuun \frac{1}{1000000} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{68999}{1000000}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{68999}{1000000}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{68999}{1000000}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{1000}=\frac{\sqrt{68999}i}{1000} x+\frac{1}{1000}=-\frac{\sqrt{68999}i}{1000}$$

Vähennä \frac{1}{1000} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$