Ratkaise 10h^2-21h-41=0

$$10 h ^ { 2 } - 21 h - 41 = 0$$

Ratkaise muuttujan h suhteen

$$h = \frac{\sqrt{2081} + 21}{20} \approx 3,330898946$$

$$h=\frac{21-\sqrt{2081}}{20}\approx -1,230898946$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10h^{2}-21h-41=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla -21 ja c luvulla -41 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$h=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 10\left(-41\right)}}{2\times 10}$$

Korota -21 neliöön.

$$h=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 10\left(-41\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$h=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-40\left(-41\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja -41.

$$h=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+1640}}{2\times 10}$$

Lisää 441 lukuun 1640.

$$h=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{2081}}{2\times 10}$$

Luvun -21 vastaluku on 21.

$$h=\frac{21±\sqrt{2081}}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$h=\frac{21±\sqrt{2081}}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö h=\frac{21±\sqrt{2081}}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 21 lukuun \sqrt{2081}.

$$h=\frac{\sqrt{2081}+21}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö h=\frac{21±\sqrt{2081}}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{2081} luvusta 21.

$$h=\frac{21-\sqrt{2081}}{20}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$h=\frac{\sqrt{2081}+21}{20} h=\frac{21-\sqrt{2081}}{20}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10h^{2}-21h-41=0$$

Lisää 41 yhtälön kummallekin puolelle.

$$10h^{2}-21h-41-\left(-41\right)=-\left(-41\right)$$

Kun luku -41 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10h^{2}-21h=-\left(-41\right)$$

Vähennä -41 luvusta 0.

$$10h^{2}-21h=41$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10h^{2}-21h}{10}=\frac{41}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$h^{2}-\frac{21}{10}h=\frac{41}{10}$$

Jaa -\frac{21}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{21}{20}. Lisää sitten -\frac{21}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$h^{2}-\frac{21}{10}h+\left(-\frac{21}{20}\right)^{2}=\frac{41}{10}+\left(-\frac{21}{20}\right)^{2}$$

Korota -\frac{21}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$h^{2}-\frac{21}{10}h+\frac{441}{400}=\frac{41}{10}+\frac{441}{400}$$

Lisää \frac{41}{10} lukuun \frac{441}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$h^{2}-\frac{21}{10}h+\frac{441}{400}=\frac{2081}{400}$$

Jaa h^{2}-\frac{21}{10}h+\frac{441}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(h-\frac{21}{20}\right)^{2}=\frac{2081}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(h-\frac{21}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2081}{400}}$$

Sievennä.

$$h-\frac{21}{20}=\frac{\sqrt{2081}}{20} h-\frac{21}{20}=-\frac{\sqrt{2081}}{20}$$

Lisää \frac{21}{20} yhtälön kummallekin puolelle.

$$h=\frac{\sqrt{2081}+21}{20} h=\frac{21-\sqrt{2081}}{20}$$