Ratkaise 1-3z+275z^2-075z^3=0

$$1-3z+275 { z }^{ 2 } -075 { z }^{ 3 } = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550}\approx 0,005454545+0,060055071i$$

$$z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}\approx 0,005454545-0,060055071i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 0 ja 75, niin saadaan 0.

$$1-3z+275z^{2}-0z^{3}=0$$

Nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla.

$$1-3z+275z^{2}-0=0$$

Järjestä termit uudelleen.

$$275z^{2}-3z+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 275, b luvulla -3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 275}}{2\times 275}$$

Korota -3 neliöön.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 275}}{2\times 275}$$

Kerro -4 ja 275.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-1100}}{2\times 275}$$

Lisää 9 lukuun -1100.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-1091}}{2\times 275}$$

Ota luvun -1091 neliöjuuri.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1091}i}{2\times 275}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{2\times 275}$$

Kerro 2 ja 275.

$$z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{550}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{550}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun i\sqrt{1091}.

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{550}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{1091} luvusta 3.

$$z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550} z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 0 ja 75, niin saadaan 0.

$$1-3z+275z^{2}-0z^{3}=0$$

Nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla.

$$1-3z+275z^{2}-0=0$$

Lisää 0 molemmille puolille.

$$1-3z+275z^{2}=0+0$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen 0 ja 0.

$$1-3z+275z^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-3z+275z^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$275z^{2}-3z=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 275.

$$\frac{275z^{2}-3z}{275}=-\frac{1}{275}$$

Jakaminen luvulla 275 kumoaa kertomisen luvulla 275.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z=-\frac{1}{275}$$

Jaa -\frac{3}{275} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{550}. Lisää sitten -\frac{3}{550}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z+\left(-\frac{3}{550}\right)^{2}=-\frac{1}{275}+\left(-\frac{3}{550}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{550} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z+\frac{9}{302500}=-\frac{1}{275}+\frac{9}{302500}$$

Lisää -\frac{1}{275} lukuun \frac{9}{302500} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z+\frac{9}{302500}=-\frac{1091}{302500}$$

Jaa z^{2}-\frac{3}{275}z+\frac{9}{302500} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{3}{550}\right)^{2}=-\frac{1091}{302500}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{550}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1091}{302500}}$$

Sievennä.

$$z-\frac{3}{550}=\frac{\sqrt{1091}i}{550} z-\frac{3}{550}=-\frac{\sqrt{1091}i}{550}$$

Lisää \frac{3}{550} yhtälön kummallekin puolelle.

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550} z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}$$