Ratkaise 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=1$$

$$t=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -t^{2}+at+bt-2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=2 b=1$$

Kirjoita \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right) uudelleen muodossa -t^{2}+3t-2.

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Ota -t tekijäksi lausekkeessa -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Jaa yleinen termi t-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista t-2=0 ja -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -16, b luvulla 48 ja c luvulla -32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 48 neliöön.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 2304 lukuun -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-48±16}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -48 lukuun 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Jaa -32 luvulla -32.

$$t=1$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-48±16}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Jaa -64 luvulla -32.

$$t=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=1 t=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Lisää 32 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Jaa molemmat puolet luvulla -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Jakaminen luvulla -16 kumoaa kertomisen luvulla -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Jaa 48 luvulla -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Jaa 32 luvulla -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa t^{2}-3t+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=2 t=1$$