Ratkaise 0=(4x^2-29x+60)

$$0 = ( 4 x ^ { 2 } - 29 x + 60 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{29+\sqrt{119}i}{8}\approx 3,625+1,363589014i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+29}{8}\approx 3,625-1,363589014i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4x^{2}-29x+60=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -29 ja c luvulla 60 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

Korota -29 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-16\times 60}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 60.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-960}}{2\times 4}$$

Lisää 841 lukuun -960.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{-119}}{2\times 4}$$

Ota luvun -119 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{119}i}{2\times 4}$$

Luvun -29 vastaluku on 29.

$$x=\frac{29±\sqrt{119}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{29±\sqrt{119}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{29±\sqrt{119}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 29 lukuun i\sqrt{119}.

$$x=\frac{29+\sqrt{119}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{29±\sqrt{119}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{119} luvusta 29.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+29}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{29+\sqrt{119}i}{8} x=\frac{-\sqrt{119}i+29}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4x^{2}-29x+60=0$$

Vähennä 60 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$4x^{2}-29x=-60$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-29x}{4}=-\frac{60}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x=-\frac{60}{4}$$

Jaa -60 luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x=-15$$

Jaa -\frac{29}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{29}{8}. Lisää sitten -\frac{29}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}=-15+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{29}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}=-15+\frac{841}{64}$$

Lisää -15 lukuun \frac{841}{64}.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}=-\frac{119}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{8}\right)^{2}=-\frac{119}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{29}{8}=\frac{\sqrt{119}i}{8} x-\frac{29}{8}=-\frac{\sqrt{119}i}{8}$$

Lisää \frac{29}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{29+\sqrt{119}i}{8} x=\frac{-\sqrt{119}i+29}{8}$$