Ratkaise -3x^2-2x+5=0

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -3x^{2}+ax+bx+5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -15.

$$1,-15 3,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -2.

$$a=3 b=-5$$

Kirjoita \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right) uudelleen muodossa -3x^{2}-2x+5.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Jaa yleinen termi -x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+1=0 ja 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla -2 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 4 lukuun 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±8}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{-6} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±8}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Jaa -6 luvulla -6.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Jaa -2 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Jaa -5 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$