Ratkaise -x^2-2x+7=-17

$$- x ^ { 2 } - 2 x + 7 = - 17$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-6$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 17 molemmille puolille.

$$-x^{2}-2x+7+17=0$$

Selvitä 24 laskemalla yhteen 7 ja 17.

$$-x^{2}-2x+24=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+24. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-2 ab=-24=-24$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -2.

$$a=4 b=-6$$

Kirjoita \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-6x+24\right) uudelleen muodossa -x^{2}-2x+24.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-6x+24\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 6.

$$x\left(-x+4\right)+6\left(-x+4\right)$$

Jaa yleinen termi -x+4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+4\right)\left(x+6\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+4=0 ja x+6=0.

$$x=4 x=-6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-2x+7=-17$$

Lisää 17 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-x^{2}-2x+7-\left(-17\right)=-17-\left(-17\right)$$

Kun luku -17 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-2x+7-\left(-17\right)=0$$

Vähennä -17 luvusta 7.

$$-x^{2}-2x+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -2 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 4 lukuun 96.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±10}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{2±10}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±10}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 10.

$$x=\frac{12}{-2}$$

Jaa 12 luvulla -2.

$$x=-6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±10}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10 luvusta 2.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Jaa -8 luvulla -2.

$$x=4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-6 x=4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x+7=-17$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-2x+7-7=-17-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-2x=-17-7$$

Vähennä 7 luvusta -17.

$$-x^{2}-2x=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

Jaa -2 luvulla -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{24}{-1}$$

Jaa -24 luvulla -1.

$$x^{2}+2x=24$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=24+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=24+1$$

Lisää 24 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=25$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=25$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sievennä.

$$x+1=5 x+1=-5$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=4 x=-6$$