Ratkaise -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

Vähennä 20 luvusta -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 90 ja c luvulla -95 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 90 neliöön.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 8100 lukuun -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 7720 neliöjuuri.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -90 lukuun 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Jaa -90+2\sqrt{1930} luvulla -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{1930} luvusta -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Jaa -90-2\sqrt{1930} luvulla -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Lisää 75 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Kun luku -75 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

Vähennä -75 luvusta 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

Jaa 90 luvulla -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

Jaa 95 luvulla -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Jaa -90 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -45. Lisää sitten -45:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Korota -45 neliöön.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Lisää -95 lukuun 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Jaa x^{2}-90x+2025 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Sievennä.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Lisää 45 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$