Ratkaise -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0,357142857-0,666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0,357142857+0,666241361i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -7, b luvulla 5 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro -4 ja -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 28 ja -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

Lisää 25 lukuun -112.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

Ota luvun -87 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 2 ja -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

Jaa -5+i\sqrt{87} luvulla -14.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{87} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

Jaa -5-i\sqrt{87} luvulla -14.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$-7x^{2}+5x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -7.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

Jakaminen luvulla -7 kumoaa kertomisen luvulla -7.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

Jaa 5 luvulla -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

Jaa 4 luvulla -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Jaa -\frac{5}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{14}. Lisää sitten -\frac{5}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

Lisää -\frac{4}{7} lukuun \frac{25}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

Lisää \frac{5}{14} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$