Ratkaise -5x^2+9x+2>0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön -5x^{2}+9x+2 korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$5x^{2}-9x-2<0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$5x^{2}-9x-2=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 5 tilalle a, muuttujan -9 tilalle b ja muuttujan -2 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{9±11}{10}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{9±11}{10} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-2 ja x+\frac{1}{5} on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-2 on positiivinen ja x+\frac{1}{5} on negatiivinen.

$$x-2>0 x+\frac{1}{5}<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{5} on positiivinen ja x-2 on negatiivinen.

$$x+\frac{1}{5}>0 x-2<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{1}{5},2\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$