Ratkaise -49t^2+100t-510204=0

$$- 49 t ^ { 2 } + 100 t - 510204 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}\approx 1,020408163-102,035705994i$$

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}\approx 1,020408163+102,035705994i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-49t^{2}+100t-510204=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -49, b luvulla 100 ja c luvulla -510204 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-49\right)\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Korota 100 neliöön.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-49\right)\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro -4 ja -49.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000+196\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 196 ja -510204.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000-99999984}}{2\left(-49\right)}$$

Lisää 10000 lukuun -99999984.

$$t=\frac{-100±\sqrt{-99989984}}{2\left(-49\right)}$$

Ota luvun -99989984 neliöjuuri.

$$t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 2 ja -49.

$$t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -100 lukuun 4i\sqrt{6249374}.

$$t=\frac{-100+4\sqrt{6249374}i}{-98}$$

Jaa -100+4i\sqrt{6249374} luvulla -98.

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{6249374} luvusta -100.

$$t=\frac{-4\sqrt{6249374}i-100}{-98}$$

Jaa -100-4i\sqrt{6249374} luvulla -98.

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49} t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-49t^{2}+100t-510204=0$$

Lisää 510204 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-49t^{2}+100t-510204-\left(-510204\right)=-\left(-510204\right)$$

Kun luku -510204 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-49t^{2}+100t=-\left(-510204\right)$$

Vähennä -510204 luvusta 0.

$$-49t^{2}+100t=510204$$

Jaa molemmat puolet luvulla -49.

$$\frac{-49t^{2}+100t}{-49}=\frac{510204}{-49}$$

Jakaminen luvulla -49 kumoaa kertomisen luvulla -49.

$$t^{2}+\frac{100}{-49}t=\frac{510204}{-49}$$

Jaa 100 luvulla -49.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t=\frac{510204}{-49}$$

Jaa 510204 luvulla -49.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t=-\frac{510204}{49}$$

Jaa -\frac{100}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{50}{49}. Lisää sitten -\frac{50}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}=-\frac{510204}{49}+\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}$$

Korota -\frac{50}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}=-\frac{510204}{49}+\frac{2500}{2401}$$

Lisää -\frac{510204}{49} lukuun \frac{2500}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}=-\frac{24997496}{2401}$$

Jaa t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{50}{49}\right)^{2}=-\frac{24997496}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{50}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24997496}{2401}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{50}{49}=\frac{2\sqrt{6249374}i}{49} t-\frac{50}{49}=-\frac{2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Lisää \frac{50}{49} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49} t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}$$