Ratkaise -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-7$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+28. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=4 b=-7$$

Kirjoita \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right) uudelleen muodossa -x^{2}-3x+28.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

Jaa yleinen termi -x+4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+4=0 ja x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla -9 ja c luvulla 84 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 81 lukuun 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 1089 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±33}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 33.

$$x=\frac{42}{-6}$$

Jaa 42 luvulla -6.

$$x=-7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±33}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 33 luvusta 9.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Jaa -24 luvulla -6.

$$x=4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-7 x=4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Vähennä 84 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

Kun luku 84 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

Jaa -9 luvulla -3.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

Jaa -84 luvulla -3.

$$x^{2}+3x=28$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Lisää 28 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=4 x=-7$$