Ratkaise -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=4$$

$$x=13$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-52. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 17.

$$a=13 b=4$$

Kirjoita \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right) uudelleen muodossa -x^{2}+17x-52.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Jaa yleinen termi x-13 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-13=0 ja -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 51 ja c luvulla -156 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 51 neliöön.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 2601 lukuun -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 729 neliöjuuri.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-51±27}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -51 lukuun 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Jaa -24 luvulla -6.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-51±27}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 27 luvusta -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Jaa -78 luvulla -6.

$$x=13$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=13$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Lisää 156 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Kun luku -156 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Vähennä -156 luvusta 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Jaa 51 luvulla -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Jaa 156 luvulla -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Jaa -17 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{17}{2}. Lisää sitten -\frac{17}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{17}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Lisää -52 lukuun \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Jaa x^{2}-17x+\frac{289}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Lisää \frac{17}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=13 x=4$$