Ratkaise -3r^2+90r=93

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28,928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1,071611723$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Vähennä 93 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

Kun luku 93 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 90 ja c luvulla -93 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 90 neliöön.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -93.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 8100 lukuun -1116.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 6984 neliöjuuri.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -90 lukuun 6\sqrt{194}.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Jaa -90+6\sqrt{194} luvulla -6.

$$r=15-\sqrt{194}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{194} luvusta -90.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Jaa -90-6\sqrt{194} luvulla -6.

$$r=\sqrt{194}+15$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

Jaa 90 luvulla -3.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

Jaa 93 luvulla -3.

$$r^{2}-30r=-31$$

Jaa -30 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -15. Lisää sitten -15:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

Lisää -31 lukuun 225.

$$r^{2}-30r+225=194$$

Jaa r^{2}-30r+225 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

Sievennä.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$