Ratkaise -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3,283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2,283882181$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 2 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 4 lukuun 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 124 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Jaa -2+2\sqrt{31} luvulla -4.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{31} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Jaa -2-2\sqrt{31} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Jaa 2 luvulla -2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

Jaa -15 luvulla -2.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{15}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$