Ratkaise -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2,430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0,180038314$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -16, b luvulla 36 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 36 neliöön.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 1296 lukuun 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Ota luvun 1744 neliöjuuri.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -36 lukuun 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Jaa -36+4\sqrt{109} luvulla -32.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{109} luvusta -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Jaa -36-4\sqrt{109} luvulla -32.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla -16.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

Jakaminen luvulla -16 kumoaa kertomisen luvulla -16.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{36}{-16} luvulla 4.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

Jaa -7 luvulla -16.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Jaa -\frac{9}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{8}. Lisää sitten -\frac{9}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

Lisää \frac{7}{16} lukuun \frac{81}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Jaa t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Lisää \frac{9}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$