Ratkaise -1/12x^2+2/3x+5/3=0

$$- \frac { 1 } { 12 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=10$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{12}, b luvulla \frac{2}{3} ja c luvulla \frac{5}{3} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Kerro \frac{1}{3} ja \frac{5}{3} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4+5}{9}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Lisää \frac{4}{9} lukuun \frac{5}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{2}{3} lukuun 1.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Jaa \frac{1}{3} luvulla -\frac{1}{6} kertomalla \frac{1}{3} luvun -\frac{1}{6} käänteisluvulla.

$$x=-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Jaa -\frac{5}{3} luvulla -\frac{1}{6} kertomalla -\frac{5}{3} luvun -\frac{1}{6} käänteisluvulla.

$$x=10$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2 x=10$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Vähennä \frac{5}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$$

Kun luku \frac{5}{3} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Kerro molemmat puolet luvulla -12.

$$\frac{-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{12}}=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{12} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{12}.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{12}}x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Jaa \frac{2}{3} luvulla -\frac{1}{12} kertomalla \frac{2}{3} luvun -\frac{1}{12} käänteisluvulla.

$$x^{2}-8x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Jaa -\frac{5}{3} luvulla -\frac{1}{12} kertomalla -\frac{5}{3} luvun -\frac{1}{12} käänteisluvulla.

$$x^{2}-8x=20$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Lisää 20 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Sievennä.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=-2$$