Ratkaise (6-x*x)+(7*x)=30

$$(6-x \times x)+(7 \times x)=30$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+7}{2}\approx 3,5-3,4278273i$$

$$x=\frac{7+\sqrt{47}i}{2}\approx 3,5+3,4278273i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$6-x^{2}+7x=30$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$6-x^{2}+7x-30=0$$

Vähennä 30 luvusta 6 saadaksesi tuloksen -24.

$$-24-x^{2}+7x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+7x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 7 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-96}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 49 lukuun -96.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-47}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -47 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±\sqrt{47}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{47}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{47}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{47}i}{-2}$$

Jaa -7+i\sqrt{47} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{47}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{47} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-7}{-2}$$

Jaa -7-i\sqrt{47} luvulla -2.

$$x=\frac{7+\sqrt{47}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+7}{2} x=\frac{7+\sqrt{47}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$6-x^{2}+7x=30$$

Vähennä 6 molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+7x=30-6$$

Vähennä 6 luvusta 30 saadaksesi tuloksen 24.

$$-x^{2}+7x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Jaa 7 luvulla -1.

$$x^{2}-7x=\frac{24}{-1}$$

Jaa 24 luvulla -1.

$$x^{2}-7x=-24$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-24+\frac{49}{4}$$

Lisää -24 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{47}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{47}i}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{47}i}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7+\sqrt{47}i}{2} x=\frac{-\sqrt{47}i+7}{2}$$