Ratkaise (40-x)(20+2x)=1500

$$(40-x)(20+2x)=1500$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=15+5\sqrt{5}i\approx 15+11,180339887i$$

$$x=-5\sqrt{5}i+15\approx 15-11,180339887i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 40-x ja 20+2x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Vähennä 1500 molemmilta puolilta.

$$800+60x-2x^{2}-1500=0$$

Vähennä 1500 luvusta 800 saadaksesi tuloksen -700.

$$-700+60x-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+60x-700=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 60 ja c luvulla -700 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 60 neliöön.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+8\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -700.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-5600}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 3600 lukuun -5600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{-2000}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -2000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -60 lukuun 20i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-60+20\sqrt{5}i}{-4}$$

Jaa -60+20i\sqrt{5} luvulla -4.

$$x=-5\sqrt{5}i+15$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20i\sqrt{5} luvusta -60.

$$x=\frac{-20\sqrt{5}i-60}{-4}$$

Jaa -60-20i\sqrt{5} luvulla -4.

$$x=15+5\sqrt{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5\sqrt{5}i+15 x=15+5\sqrt{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 40-x ja 20+2x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Vähennä 800 molemmilta puolilta.

$$60x-2x^{2}=1500-800$$

Vähennä 800 luvusta 1500 saadaksesi tuloksen 700.

$$60x-2x^{2}=700$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+60x=700$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+60x}{-2}=\frac{700}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{60}{-2}x=\frac{700}{-2}$$

Jaa 60 luvulla -2.

$$x^{2}-30x=\frac{700}{-2}$$

Jaa 700 luvulla -2.

$$x^{2}-30x=-350$$

Jaa -30 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -15. Lisää sitten -15:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-350+\left(-15\right)^{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$x^{2}-30x+225=-350+225$$

Lisää -350 lukuun 225.

$$x^{2}-30x+225=-125$$

Jaa x^{2}-30x+225 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-15\right)^{2}=-125$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{-125}$$

Sievennä.

$$x-15=5\sqrt{5}i x-15=-5\sqrt{5}i$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=15+5\sqrt{5}i x=-5\sqrt{5}i+15$$